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目錄 |
一個很自然的想法是問, 是否存在一個算子起到半導數的作用，即使得:
結論是: 這樣的算子是存在的, 對於任意, 存在一個算子, 滿足:
或者換一個說法, 的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.
在這裡我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ函數的定義如下:
假設對函數 在0到x上求積分, 我們可以形式的定義積分算子J:
重複這個過程, 可得:
這個過程可以任意的重複下去.
利用重複積分的柯西公式，即:
我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。
直接利用函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式
這個算子定義明確而且具有良好的性質。
可以證明J算子滿足如下關係
這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難，而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。
假設有一個函數
它的一階導數一般是:
重複這一過程, 得到更一般的結果:
當k = 1, 並且a = 1/2 時我們可以得到函數的半導數:
重複這一過程, 得:
這正是期望的結果:
以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次. 舉個例子, 階導數作用後, 階導數再作用, 可以得到二階導數. 同時如果a為負則可為求積分.
分數微分可以得到上述相同的結果(當).
對於任意的, 由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義, 需要在分數微分前先進行整數微分. 例子,
WKB近似
對於一個一維的量子系統進行准經典的近似時，系統哈密頓量中的倒數可由對態密度的半階微分求出